rovnice harmonického kmitání
Zdravím,
neporadil by mi někdo prosím s rovnicemi harmonického kmitání? Máme určit amplitudu výchylky, periodu, frekvenci, počáteční fázi, počáteční okamžik t0, rovnici rychlosti a zrychlení. Amplitudu i rovnice určím, ale problém mám s argumentem sinu, nějak se nemůžu zorientovat, co je ω, počáteční fáze a poč. okamžik t0.
y = 5,0.10-2.sin[2π(t/8 +1/16)] m
y = 0,01.sin(280.t + 0,5) m
y = 0,02 sin[4t(40+π/(3.t)] m
Budu moc ráda za odpovědi :)
Právě zorientovat se v tom je ta největší věda, i pro nás, co řešíme podobné úkoly častěji, a ne jen jako školní cvičení, pak už to půjde samo.
Harmonické kmitání (ovšem s tím pojmem pozor, matematici tak nazávají něco trochu jiného, takže já radši používám pojem čistě sinusový než harmonický, aby nedošlo k omylu, ale tím bych se netrápil) má tři parametry: Amplitudu (A), kmitočet (ω)a počátecní fázi (φ0). Rovnice je obecně
y = A sin (ωt+ φ0)
no a v této rovnici porovnáním s uvedenými nalezneš vše potřebné. Výchylka v čase nula pak vyjde dosazením t=0.
Rychlost a zrychlení jsou pak už jen první a druhou derivací y (značí se y s tečkou a y se dvěma tečkama ovšem napsat něco takového jako text neumim a v mapě znaků nacházím jen ӱ s jednou tečkou bude kdovíkde a ani nepřemýšlím, kdybych chtěl vyšší derivaci), to by neměl být problém, jen nezapomenout že jde o složenou funkci (jo to jsme tak s kolegou derivovali sin(ωt+ φ0) a bylo nám divné, ne to že naměřená hodnota je jiná (to je celkem normální), ale to že činitel jakoby byl 100π (=314 rad/s; úhlový kmitočet odpovídající 50 Hz), poněkud zvláštní náhoda; tedy jsem se zamyslel, kde jsme co mohli zapomenout, a říkám, no my tady derivujeme sinus, to je derivace vnější funkce, ale zapomněli jsme na derivaci vnitřní funkce a to je právě těch 314 co nám dělá tu nesrovnalost). Ten kolega mi pak vyprávěl, že se to samé stalo o něco později někomu ve škole a on hned věděl o co jde.
Jo a ještě k tomu omega (ω), to neni mutace viru, která ukončí veškerý život ale označení pro úhlovou rychlost v radiánech za sekundu. Převod z běžného kmitočtu je ω=2πf matematika prostě Hz nezná a je potřeba používat rad/s (podobně jako radiány pro úhel).
P.S.: to m jsou metry nebo nějaký parametr (a pokud je to parametr, patří to k sinu (spíš ne, sinus je krásně uzávorkovaný) a nebo je to činitel amplitudy (pak by se mohl pominout, derivace je lineární a m krát větší vstup dá m krát větší výstup)). Časovou derivací metrů jsou m/s druhou pak m/s² tedy i jednotkově to sedí.