rovnice harmonického kmitání
Zdravím,
neporadil by mi někdo prosím s rovnicemi harmonického kmitání? Máme určit amplitudu výchylky, periodu, frekvenci, počáteční fázi, počáteční okamžik t0, rovnici rychlosti a zrychlení. Amplitudu i rovnice určím, ale problém mám s argumentem sinu, nějak se nemůžu zorientovat, co je ω, počáteční fáze a poč. okamžik t0.
y = 5,0.10-2.sin[2π(t/8 +1/16)] m
y = 0,01.sin(280.t + 0,5) m
y = 0,02 sin[4t(40+π/(3.t)] m
Budu moc ráda za odpovědi :)
Ne že by se mi to chtělo počítat, ale co je to n a m?
ω je to čím se násobí t, třeba v té druhé rovnici je to číslo 280, aspoň myslím.
Nejdřív bych se pokusil spočítat ty závorky.
Takže tenhle paznak "π" je asi "pí" (3,14...).
Ale dívenka se neozývá, tak už ji to asi nezajímá.
https://forum.zive.cz/viewtopic.php?f=922&t=929499
Najprv si ujasni, čo to je m a zapíš to správne. Ja som napr. nepochopil, čo to je m a čo znamená (aká matematická operácia to je) medzera medzi hranatou zátvorkou a týmto písmenom. Násobíš (ak sa teda jedná o násobenie?) tým celú pravú stranu rovnice, alebo len argument funkcie sin? Alebo je to tam len pre vyplnenie miesta? Je to len značka na označenie rovnice? Niečo ako Z na ruských tankoch?
Funkciu uprav na tvar:
y = x(t) = A.sin(ωt+φ)
Teda argument funkcie sin bude:
ω+φ, čo je to isté ako 2πf+φ
ω je len iný spôsob vyjadrenia frekvencie a platí:
ω = 2πf
π je Ludolfovo číslo, grécke písmeno pí.
Amplitúda je A (to vieš), f je frekvencia (inak môže byť vyjadrená aj pomocou znaku ω a v tom prípade je to uhlová rýchlosť v jednotkách rad/s, φ je fázový posun v radiánoch. Počiatočná fáza je φ0 v počiatočnom čase t0 = 0.
Napr. upravme prvú rovnicu:
y = 5,0.10-2.sin[2π(t/8 +1/16)]
y = 0,05.sin(2πt+π)
teda amplitúda = 0,05, ω = 2π, frekvencia = 2π/2π = 1, fázový posun φ0 = π. Samozrejme používame radiány. Prepočet na stupne je triviálny (π = 180°).
Toto všetko platí pre rovnice v ktorých je vynechané m, pretože fakt neviem čo to je. A ak som urobil niekde preklep či chybu (sú 3 hodiny v noci), určite ju nájdeš.
Právě zorientovat se v tom je ta největší věda, i pro nás, co řešíme podobné úkoly častěji, a ne jen jako školní cvičení, pak už to půjde samo.
Harmonické kmitání (ovšem s tím pojmem pozor, matematici tak nazávají něco trochu jiného, takže já radši používám pojem čistě sinusový než harmonický, aby nedošlo k omylu, ale tím bych se netrápil) má tři parametry: Amplitudu (A), kmitočet (ω)a počátecní fázi (φ0). Rovnice je obecně
y = A sin (ωt+ φ0)
no a v této rovnici porovnáním s uvedenými nalezneš vše potřebné. Výchylka v čase nula pak vyjde dosazením t=0.
Rychlost a zrychlení jsou pak už jen první a druhou derivací y (značí se y s tečkou a y se dvěma tečkama ovšem napsat něco takového jako text neumim a v mapě znaků nacházím jen ӱ s jednou tečkou bude kdovíkde a ani nepřemýšlím, kdybych chtěl vyšší derivaci), to by neměl být problém, jen nezapomenout že jde o složenou funkci (jo to jsme tak s kolegou derivovali sin(ωt+ φ0) a bylo nám divné, ne to že naměřená hodnota je jiná (to je celkem normální), ale to že činitel jakoby byl 100π (=314 rad/s; úhlový kmitočet odpovídající 50 Hz), poněkud zvláštní náhoda; tedy jsem se zamyslel, kde jsme co mohli zapomenout, a říkám, no my tady derivujeme sinus, to je derivace vnější funkce, ale zapomněli jsme na derivaci vnitřní funkce a to je právě těch 314 co nám dělá tu nesrovnalost). Ten kolega mi pak vyprávěl, že se to samé stalo o něco později někomu ve škole a on hned věděl o co jde.
Jo a ještě k tomu omega (ω), to neni mutace viru, která ukončí veškerý život ale označení pro úhlovou rychlost v radiánech za sekundu. Převod z běžného kmitočtu je ω=2πf matematika prostě Hz nezná a je potřeba používat rad/s (podobně jako radiány pro úhel).
P.S.: to m jsou metry nebo nějaký parametr (a pokud je to parametr, patří to k sinu (spíš ne, sinus je krásně uzávorkovaný) a nebo je to činitel amplitudy (pak by se mohl pominout, derivace je lineární a m krát větší vstup dá m krát větší výstup)). Časovou derivací metrů jsou m/s druhou pak m/s² tedy i jednotkově to sedí.