Matematická úloha
Dobrý den vespolek,
dcera (8.třída) dostala následující úkol v matematice:
Narýsujme pravidelný pětiúhelník A, B, C, D, E . Na tomto pětiúhelníku dorýsujeme úsečku spojující body B a E. A pak ještě bod F, který vznikne když z vrcholu C spustíme přímku kolmou na úsečku BE a tato protne úsečku AB. V místě protnutí je bod F. Je délka úsečky BE a součet délek úseček AE plus AF stejný? Proč? Vysvětli a uveď matematický důkaz.
Přestože se nepovažuji za úplně hloupého, alespoň v matematice, tak neumím vyvodit ten matematický důkaz. Sedíme nad tím, dumáme, ale žádná kloudná myšlenka nepřichází.
Věděl by někdo?
Děkuji
Úsečky EB a CD jsou rovnoběžné.
Pak bych si tam nakreslil bych si tam ještě osu úsečky BE - bude procházet bodem A i středem úsečky CD.¨
Vyplyne z toho že bod F je v polovině úsečky AB.
Děkuji za úvahu, ale bod F určitě není v polovině úsečky AB.
No jo, chyba v nákresu i ve výpočtu.
matematické důkazy se provádí na VŠ, popř. na gymnáziích ale chtít to v 8. třídě je absurdní
Pojem "matematický důkaz" je asi užitý nepatřičně. Takové jakoby důkazy se dělají na střední škole.
Já teda už bych skončil u té věty narýsujte pravidelný pětiúhelník, vím, že se to nějak dělalo, ale jako zbytečný poznatek jsem to dávno zapomněl. Umím to tak akorát v počítači, když dám exp(j*2*pi/5*[1:5]) to jsou jeho vrcholy, ale to je pro základní školu vyšší matematika (tam se nedělá ještě ani analytická geometrie, natož aby se používala komplexní rovina x+j*y, teda jde to i bez komplexních čísel, ale tak se člověk v těch sínech a kosínech zamotá). Tužkou a kružítkem na papíře jsem to dělal možná naposledy na začátku střední.
v tom případě je to další případ kreténismu výrobce matematických učebnic/učitelů...
bože jak se ta generace má něco naučit když ani ty učebnice neví co chtějí
Na úsečce EB vyznačme bod P tak, aby |EP|=|EA|. Pak úhel APE=úhel BPC, úhel PBC=úhel EBC=úhel EAP=úhel EAC.
Trojúhelníky APE a PBC jsou podobné rovnoramenné |EP|=|CP|=|EA|.
Chceme ukázat, že |EB|=|EA|+|AF|, ale víme, že|EA|=|EP|.
Tedy stačí ukázat, že trojúhelník AFP je rovnoramenný se základnou FP.
Pohrajte si trošku s úhly deltoidu FBCP (konkrétně já jsem si označil alfa jako úhel FPB, uvažujíc úhel ABC=108) a dolpňte na 180. Vyjde úhel AFP=úhel APF.
q.e.d.
Omlouvám se: zdůvodnění, že
(tedy první řádek), mám špatně.
Správně: označme P jako průsečík úseček AC a EB. Označíme-li jako beta úhel BAP, pak úhel APB=180-2*beta, úhel APE=2*beta, úhel EAP=108-beta, pak lehkým výpočtem beta=36 (úhel EAB je 108 - úhel pentagonu).
Zbytek je dobře:
Trojúhelníky APE a PBC jsou podobné rovnoramenné |EP|=|CP|=|EA|.
Chceme ukázat, že |EB|=|EA|+|AF|, ale víme, že|EA|=|EP|.
Tedy stačí ukázat, že trojúhelník AFP je rovnoramenný se základnou FP.
Pohrajte si trošku s úhly deltoidu FBCP (konkrétně já jsem si označil alfa jako úhel FPB, uvažujíc úhel ABC=108) a dolpňte na 180. Vyjde úhel AFP=úhel APF.
q.e.d.
Děkuji, zkusím to probrat s dcerou.
Vypadá to rozumně
Jiné řešení, než jsem nabídnul, zde , příklad 3.
Opět pomocí elementárních poznatků.