Matematická úloha
Dobrý den vespolek,
dcera (8.třída) dostala následující úkol v matematice:
Narýsujme pravidelný pětiúhelník A, B, C, D, E . Na tomto pětiúhelníku dorýsujeme úsečku spojující body B a E. A pak ještě bod F, který vznikne když z vrcholu C spustíme přímku kolmou na úsečku BE a tato protne úsečku AB. V místě protnutí je bod F. Je délka úsečky BE a součet délek úseček AE plus AF stejný? Proč? Vysvětli a uveď matematický důkaz.
Přestože se nepovažuji za úplně hloupého, alespoň v matematice, tak neumím vyvodit ten matematický důkaz. Sedíme nad tím, dumáme, ale žádná kloudná myšlenka nepřichází.
Věděl by někdo?
Děkuji
matematické důkazy se provádí na VŠ, popř. na gymnáziích ale chtít to v 8. třídě je absurdní
Pojem "matematický důkaz" je asi užitý nepatřičně. Takové jakoby důkazy se dělají na střední škole.
Já teda už bych skončil u té věty narýsujte pravidelný pětiúhelník, vím, že se to nějak dělalo, ale jako zbytečný poznatek jsem to dávno zapomněl. Umím to tak akorát v počítači, když dám exp(j*2*pi/5*[1:5]) to jsou jeho vrcholy, ale to je pro základní školu vyšší matematika (tam se nedělá ještě ani analytická geometrie, natož aby se používala komplexní rovina x+j*y, teda jde to i bez komplexních čísel, ale tak se člověk v těch sínech a kosínech zamotá). Tužkou a kružítkem na papíře jsem to dělal možná naposledy na začátku střední.
v tom případě je to další případ kreténismu výrobce matematických učebnic/učitelů...
bože jak se ta generace má něco naučit když ani ty učebnice neví co chtějí
Na úsečce EB vyznačme bod P tak, aby |EP|=|EA|. Pak úhel APE=úhel BPC, úhel PBC=úhel EBC=úhel EAP=úhel EAC.
Trojúhelníky APE a PBC jsou podobné rovnoramenné |EP|=|CP|=|EA|.
Chceme ukázat, že |EB|=|EA|+|AF|, ale víme, že|EA|=|EP|.
Tedy stačí ukázat, že trojúhelník AFP je rovnoramenný se základnou FP.
Pohrajte si trošku s úhly deltoidu FBCP (konkrétně já jsem si označil alfa jako úhel FPB, uvažujíc úhel ABC=108) a dolpňte na 180. Vyjde úhel AFP=úhel APF.
q.e.d.
Omlouvám se: zdůvodnění, že
(tedy první řádek), mám špatně.
Správně: označme P jako průsečík úseček AC a EB. Označíme-li jako beta úhel BAP, pak úhel APB=180-2*beta, úhel APE=2*beta, úhel EAP=108-beta, pak lehkým výpočtem beta=36 (úhel EAB je 108 - úhel pentagonu).
Zbytek je dobře:
Trojúhelníky APE a PBC jsou podobné rovnoramenné |EP|=|CP|=|EA|.
Chceme ukázat, že |EB|=|EA|+|AF|, ale víme, že|EA|=|EP|.
Tedy stačí ukázat, že trojúhelník AFP je rovnoramenný se základnou FP.
Pohrajte si trošku s úhly deltoidu FBCP (konkrétně já jsem si označil alfa jako úhel FPB, uvažujíc úhel ABC=108) a dolpňte na 180. Vyjde úhel AFP=úhel APF.
q.e.d.
Děkuji, zkusím to probrat s dcerou.
Vypadá to rozumně
Jiné řešení, než jsem nabídnul, zde , příklad 3.
Opět pomocí elementárních poznatků.